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1. 引言
人們每天都在使用直流電器，例如手機，筆記型電腦等等。
典型的直流電路具有一個電池，電池二端由金屬導線連接一個負載電阻。金屬導線內自由電子的運動速度是很慢的，小於 1毫米/秒。可是電路中電能的傳播速度非常快，傳送速率是真空光速的數量級。例如，在電路的開關閉合時，電路中的電燈幾乎是在一瞬間同時發光。由此可見，電路中的電能速度主要是由電場傳送速率決定，而不是導體內的自由電子的運動速度。
關於直流電能傳輸的物理過程，現在許多大學電磁學教課書認為：電能不是在導線內部傳輸的；而是電池向外界空間以坡印亭向量形式輸出電磁能量，然後，電阻（用電器）從外界空間吸收電磁能量[1]。真的如此嗎？讓我們對坡印亭定理作下分析。
2. 對坡印廷定理的再思考
坡印亭是19世紀的一位英國科學家（J.P. Poynting），他從Maxwell方程組推導出了坡印亭定理[2,3]，這在形式上類似于經典力學中的能量守恆定理。坡印亭定理的推導過程離不開位移電流，因此，它可看成是包括真空能流在內的電磁能守恆定律。
坡印亭定理是個微分方程，可用文字表達為：
坡印亭向量（電磁能流）的散度=電路內的功率輸出+電路外的電磁能密度變化率。
對於直流電路來說，導線外的電場強度以及磁場強度都不隨時間變化，上式右面第二項實際上為零。
在推導坡印亭定理的過程中，用到了法拉第定律。這個過程說明必須有個交變磁場產生交變電場的物理過程。這個過程只存在于自由空間以及絕緣介質中的電磁波的傳播中，與直流電路無關。另外，運用坡印亭定理進行運算，我們必須考慮採取微分運算的局部微小點在哪裡。如果這個局部微小點在導線之外，則該方程只反映了電磁波在自由空間以及絕緣介質裡的傳輸過程。在直流電路的情況下，導線外的電場強度以及磁場強度都不隨時間變化，因此，這時坡印亭定理的方程兩邊都為零。另一方面，如果局部微小點位於導線內部，則傳導電流密度和電場強度在不同位置可能是不同的。更加重要的關鍵點：我們必須從物理源頭上搞清楚，導線內部的電場強度和傳導電流密度是如何產生的。
這個過程需要區分二種不同的情況：
a). 如果它們是由閉合電路中電源的電動勢產生的，那麼這個物理過程不涉及到交變磁場產生交變電場，也就不涉及坡印亭定理。
b). 如果是電磁波傳輸到接收天線，在接收天線的導線內產生了電場強度和電流密度，那麼這個物理過程需要坡印亭定理。所以，坡印亭定理是有一定適用範圍的。
根據上述對坡印亭定理的分析，直流電路的能量傳輸不可能是“電池向外界空間以坡印亭向量形式輸出電磁能量，然後，電阻（用電器）從外界空間吸收電磁能量”；而應該是電路內部的大量自由電子，在電源電動勢的驅動下運動，即電源的電動勢能轉化為自由電子的動能。這種導線內的電能的傳輸過程與位移電流無關，所以也與坡印亭定理無完全的關聯。坡印亭向量是真空中的電磁能流，是電路外部的電磁能流；電動勢能轉化為自由電子的動能是電路內部的基本能量轉換方式。
庫侖靜電場是縱向電場。 在直流電路中，金屬線中的電場也是縱向電場。 雖然這兩個電場有一些相似之處，但事實上電源是有差別的。庫侖靜電場的電源是孤立電荷，直流電路的電源是電池，電池通過金屬線連接到負載電阻。
在直流電路的情況下，通電導線邊界處的電場的邊界條件並不是很清楚，是否存在淨電荷也是不明確的。為了探測電路是否會受到外界電磁作用，我們用靜電屏蔽方法對直流電路做了一些測試： 在串聯一個電流錶的同一個直流電路中，我們分別採用 a).金屬蓋遮罩電池; b).金屬蓋遮罩電阻器; c）同軸電纜遮罩內部電線。 結果3種情況的電流錶的讀數基本相同（精度為4位）。 這些測試表明，在直流電路中，外部（包括金屬線介面附近）的電磁場對導線內的電流基本上沒有影響。這充分表明：直流電能完全是在通電導線的內部傳輸的。
3. RL電路中低頻交流電的速度
低頻交流電路的情況，有很大一部分與直流電路類似。因此，上面對於坡印亭定理的討論也適用於低頻交流RL電路。
低頻交流RL電路，由電源、電阻R和電感L組成。其中的位移電流的作用非常小，接近於0。導線內部的電場強度和傳導電流密度是由閉合電路中電源的電動勢產生的，這個物理過程不涉及到坡印亭定理。
低頻交流RL電路的硬體是電源、導線、電阻和電感。經典電路理論基礎公式是歐姆定律以及基爾霍夫二個定律。 實際電路的功能可概括為兩個方面：其一，進行電能的產生、傳輸、分配與轉換，如電力系統中的發電、輸配電線路等。其二，實現低頻信號的產生、傳遞、處理與控制，例如電話、有線電視電路等。
電路的主要物理量是電源電動勢、電流和電壓。電動勢是表示電源性質的物理量，它可以用U來表示，其單位是伏特（V）。 電源的電動勢U在數值上等於電源力（非靜電力）把單位正電荷從低電位端經電源內部移到高電位端所做的功。
具有電阻和自感的基爾霍夫電壓定律的具體形式是：
U(t)=I(t)R + L dI(t)/dt (1)
在式(1)中，U(t) 代表電源的電動勢。其中右邊第1項是歐姆定律，右邊第2項可以從法拉第定律推導出來。
事實上，在低頻交流電的情況下，基爾霍夫電壓定律是根據能量守恆定律結合了法拉第定律的嚴格表示式。它是與麥克斯韋方程平行發展的一個基本方程式。式(1)是基爾霍夫電壓定律應用在RL電路的實例。
集總元件電路的模型忽略了電信號在電路中傳播的有限時間[8]。 但是使用現代示波器，可以測量電路中納秒級的時間，並且在RL電路中可以推算出交流電的速度。
最近幾年以來，我們用實驗研究了低頻交流電的速度[9-12]。在我們的實驗中，我們採用了一長一短的二個不規則形狀的RL並聯電路。我們用L1 和 L2 分別代表短導線和長導線的自感。R1 = R2 = 1 MΩ，是示波器的二個輸入阻抗。在實驗中，工作頻率是2MHz，整個電路的尺度不超過4米。短導線回路與長導線回路安排在不同的方向。在這樣的電路設計中，電路長度小於等效波長（c/f）的5%，所以它是不能用“傳輸線理論”進行理論計算的。
為了計算一個RL 電路的時間延遲，我們利用了帶有電感的基爾霍夫電壓定律，即方程式(1)。在我們的實驗中，L1 和 L2 分別代表短導線和長導線的分佈電感，它們不是單獨的電感元件。也就是說，導線的分佈電感與導線長度有關。這個設計是與圖1中表示的單個電感元件有明顯的不同。
直導線的分佈電感值由以下近似公式計算[10]：
L = 2l[ln(2l/r)–0.75]10-7 (2)
在式(2)中，l 為導線長度，r 為導線截面的半徑。長度以m 為單位取數值，計算結果單位是H（亨利）。通過計算，可得直徑為1.0 mm，長度為0.4 m的銅導線的分佈電感為530 nH；長度為6.4 m的銅導線的分佈電感為11.2 μH。 由於1.0 m導線的分佈電感大約為1.0 μH，對於2 MHz信號，它的阻抗大約為12 Ω；6.8 m導線的分佈電感為12μH，對於2 MHz的信號，阻抗大約為150 Ω。而示波器選擇的輸入阻抗是1 MΩ，所以無論是12 Ω還是150 Ω，相對於1 MΩ的輸入阻抗而言，均是很小的。
我們的實驗資料表明，在信號頻率超過3 MHz以後，示波器顯示的相位出現明顯的位移。這個現象很可能是由導線的電感與示波器內部的電容和電感相互作用導致的。在示波器埠的內部一般有10-20 pF 的電容，這個電容以及埠附近的分佈電容對於交變信號的時間延遲是有一些影響的。可是，在我們的實驗中，我們關注的是二個交變信號的時間差，所以示波器埠電容的效應被減掉了。在實驗過程中，我們首先交換兩個示波器通道，表明交變信號無變化，這說明示波器的二個通道性能一致。
下面，我們計算一個RL 電路中，電阻上的電壓相對於電動勢電壓的時間延遲。對於一個RL 電路，交變電流可以用指數形式表示
I (t) = Io exp(jωt ) (3)
這裡，j代表虛數。於是具有電感的基爾霍夫電壓定律表示式可以寫為：
U(t) = I (t)R + jωL I (t) (4)
在ωL<< R的條件下，式(14)可以改寫成為
U(t) = I (t)R exp(jωt + jΦ) (5)
在式(15)中，Φ代表相位角：
Φ = ωL/R = ωΔt (6)
所以，在RL 電路中，電阻R上的電壓與電動勢U(t)相比較存在一個時間延遲：
Δt =L/ R (7)
這個時間延遲量與工作頻率無關。如果取電感L為10μH，電阻R為1M歐姆，那麼Δt 大約是 10 ps.
根據公式(2)，直導線的電感值與導線的總長度正相關。如果把公式(2)的時間延遲與交流電的速度相聯繫，我們引入了下面的工作定義：令RL 電路的回路總長度為l，它近似於導線的總長度。我們把導線中交變電場速度定義為：
V =l/Δt = lR/L (8)
對於6米長的銅導線，電感L大約為11μH。在我們的實驗中，電阻R 是1MΩ。根據公式(8)，我們得到V 的理論值：V≈1800 c, c代表真空光速值。從我們的多次測量，對於頻率在3.0 MHz以下的信號，縱向電場的速度超過光速20倍以上，這個結果與頻率無關。實驗結果表明，交流電在金屬導線中可以超光速傳輸信號和電能。本實驗的關鍵是：電路的分佈電容小於1pF，可以忽略。RL電路中縱向交變電場的時間延遲是由單導線自身的電感引起的，導線自感量與長度有一定的相關性。
從我們許多次的實驗表明，導線中低頻交流電可以大大超光速，這是RL電路根據公式(11)得到的一個推論。
當工作頻率是2MHz時，它的等效波長(c/f)是150米，而我們實驗中的電路長度小於10米。對於這樣的實驗室尺度內的電路實驗，電路專家採用集總電路模型。集總電路模型是不計算導線長度的，其實它隱含了一個假定：交變電信號在導線中的速度是無窮大。所以我們的實驗結果表明，在特定條件下交變電信號在導線中的速度超光速20倍以上，這不僅是合理的，而且也是對集總元件電路模型的改進。
5. 結論
本文通過研究直流以及低頻交流電能的傳輸過程，討論了坡印亭定理以及集總元件電路模型。
對於集總元件電路模型，從帶有電感的RL電路的電壓方程式(1)，可以計算出大電阻上的電壓對於電動勢的相位延遲，它等價於時間延遲。這個時間延遲是由直導線的分佈電感引起的。所以直導線的分佈電感是“因”， 大電阻上電壓對於電動勢的相位延遲是“果”，計算得出的交變電信號在導線中的速度可以超光速是推論。
我們強調指出，式(1)是一個標量方程。由於電源U(t)是電路中一個獨立的組成部分，它是外力在電源內部對電荷做功引起的。所以，方程式(1)體現了電路的整體特性以及標量時間。
在方程式(11)中，電流I(t)以及時間變數t 也是標量。它表明，對於某一時刻，在電路中不同地點，電流I(t)是相同的。它體現了異地同時性的絕對性。當時間變化時，電路中電流的大小以及相位是隨時間整體變化的。所以，交流電在金屬導線中由相位變化來傳輸資訊是一種宏觀的非局域性效應。“非局域”的超光速物理作用，不僅僅在量子力學領域存在，並且在宏觀世界也存在。
在低頻交流電路的情況，電源產生的交變電動勢直接把能量和資訊以縱場的形式同步地傳送給電路的各個部分。這種傳送能量的方式與電磁波是完全不同的。電路中的低頻交變電場具有頻率以及相位的特徵，可是不存在波長的定義。
我們實驗中測量到1納秒級的時間差，主要歸功於本世紀以來示波器技術的進步。 我們的貢獻僅僅是選對了實驗的方法，指出了實驗中電路的特定條件。時間測量的誤差由示波器的精度決定。
集總元件電路的模型忽略了電信號在電路中傳播的有限時間。 但是使用現代示波器，可以測量電路中納秒級的時間，並且在RL電路中可以推算出交流電的速度。典型的RL電路由電源，導線，電阻和電感組成，基本公式是方程式(11)，它可以從歐姆定律和基爾霍夫定律推導出來。根據我們的實驗結果，考慮到電信號傳播的有限時間，集總元件電路的模型可以得到改進。
直流電能的傳輸過程與位移電流無關，也與坡印亭定理無關。在直流電路的情況下，電路內部的自由電子在電源的電動勢的驅動下運動，電動勢能轉化為自由電子的動能，形成了電流。在這種情況下，坡印亭向量只是一個數學定義，它沒有形成真正的能流，所以電磁能流不是從金屬導線的外部傳輸到內部的。
在推導坡印亭定理的過程中，用到了位移電流項以及法拉第定律。這個過程表明必須有個交變磁場產生交變電場的物理過程。這個物理過程在自由空間以及絕緣介質中的電磁波傳輸時存在。
在推導坡印亭定理的過程中，我們必須考慮我們採取微分運算的局部微小點在哪裡。如果這個局部微小點在導線之外，則傳導電流密度為零，這時坡印亭定理與電路無關。
另一方面，如果局部微小點位於導線內部，我們必須從物理源頭上搞清楚，導線內部的電場強度和傳導電流密度是如何產生的。這個過程需要區分二種不同的情況：
a). 如果它們是由閉合電路中電源的電動勢產生的，那麼這個物理過程不涉及到交變磁場產生交變電場，也就不涉及坡印亭定理。
b). 如果是電磁波傳輸到接收天線，在接收天線的導線內產生了電場強度和電流密度，那麼這個物理過程需要坡印亭定理。
無線電磁波發射的條件必須採用開放電路，而且要求頻率足夠高。
對於低頻閉合交流電路，它不發射電磁波。然而，在低頻閉合電路的周圍空間，存在低頻交變的電場和磁場，表明導線外的空間存在電磁場能量轉換，可是沒有電磁波的發射和傳播。
總之，坡印亭定理是有一定適用範圍的。在有電源的直流電路以及低頻交流電路的情況，導線內的電能的傳輸過程與位移電流無關，也與坡印亭定理無關。
致謝:
作者感謝褚君浩院士和殷業教授的有益討論和幫助。
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