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●爱因斯坦坚信物理世界的和谐秩序原则，坚信“自然定律的普遍有效性，应当不随坐标系变换而变”。对于惯性系是那样，推广到非惯性系也应当是那样。在进行推广时，架构的桥梁是等效原理和广义协变性原理。
●分析广义相对论的创立过程中，新物理思想与新数学工具之间的能动相互作用。特别是一旦认识到在弯曲时空中必须采用“柔性标尺”，也就借助于黎曼几何与张量分析工具取得了关键性的突破。
●马赫对绝对时空观的大胆怀疑和有力批判，给予爱因斯坦无穷的启发性力量。通过对“马赫原理”的重新解读，还可以看出它对寻找广义相对论的引力场方程的启发性作用。
●从新的角度讨论了广义相对论时空观,指出引力场的时空相对性之中仍包含着某种绝对性。探讨了爱因斯坦与马赫的相对性纲领的微妙差异，分析了物理上广义相对性与数学上广义协变性的区别与联系。
关键词 自然定律的不变性 等效原理 广义相对性与广义协变性 马赫原理 柔性标尺
上一章的分析表明，正是“对于表征自然定律来说，一切惯性系应当具有等效性”这一哲学理念引导爱因斯坦创立了狭义相对论。然而，那只是更普遍、更深刻的哲学理念“自然定律的有效性，应当不随任何坐标系变换而变”的一个特例而已。本文将要表明，正是后一哲学理念引导爱因斯坦最终创立了广义相对论。笔者曾经在与吴新忠合作论文《相对论的历史与哲学》[ 参看桂起权 吴新忠：《相对论的历史和哲学》，淮阴，淮阴师范学院学报2006（2）。 ] 中做过一些分析，本文是进一步的说明。
第一节 广义相对论的源流：等效原理、广义协变性与马赫原理
狭义相对论创立之后，也就自然地引起了这样的问题：有没有更进一步的等效性呢？为什么自然定律的不变性要限制于惯性坐标系呢？非惯性系又怎么样呢？换个提法：如果速度概念只能有相对的意义，难道我们还应当固执着把加速度当作一个绝对的概念吗？
从纯粹的运动学观点看，无论如何不会怀疑一切运动的相对性；但是从经典力学的整体看来，惯性系确实占有一个特选的地位，相比之下，一切依照别种方式运动的坐标系的使用都显得不自然。牛顿及其牛顿力学在一般科学家心目中具有神圣不可侵犯的崇高形象，而权威主义恰恰是一切革新者所遭遇的第一大思想障碍。正是在这种背景下，休谟的怀疑主义加上马赫的在《力学史评》中对牛顿绝对时空观的大胆怀疑和有力批判，才给予爱因斯坦最可宝贵的初始策动力和无穷的启发性力量，对他所起到的“破除迷信，解放思想”的作用简直是不可估量的。科学哲学家费耶阿本德在《反对方法》中就对传统方法论的“一致性原则”提出过挑战。那个“一致性原则”说，要提出任何一个有价值的新理论，首先必须与久经考验的公认正确的正统理论保持一致，否则就是不可取的。旧原则是一条“不准造反”、“不准革命”的方法论原则。费耶阿本德针锋相对地提出了“理论增多原则”，他鼓励后来者要勇于提出与公认正确的正统理论不一致的新思想、新观点，而且多多益善。新原则则是鼓励打破常规、鼓励改革创新的方法论原则。费耶阿本德认为，旧原则不是一条“公平竞争”的原则，让新兴理论与已经取得正统地位的公认理论直接去争斗，就无异于让新生婴儿与拳击手甚至拳王去比赛，这太不公平了。如果物理学家必须永远与久经考验的牛顿理论保持一致，哪里会有什么相对论和量子革命？！
爱因斯坦一开始曾经企图在狭义相对论的框架之中改造牛顿的引力论。在经典力学中，引力势方程是与牛顿的引力定律等效的，其实它只是翻译为势论语言的引力定律而已。改造牛顿引力论的最简单方法当然是保留拉普拉斯的引力标量势，并且用一个关于时间的微分项，以明显的方式来补足泊松方程，使狭义相对论得到满足。引力场中质点的运动规律也必须适应狭义相对论。爱因斯坦推测物体的惯性质量也许同引力势有关，因为引力势的能量也应当对应着质量。在这个方案中，落体的加速度同它的水平速度或者这体系的内能是相关的。
但是，依照经典力学，物体在竖直引力场中的竖直加速度，同该物体的速度的水平分量无关。因此，在这样的引力场里，一个力学体系或它的质心的竖直加速度的产生，同它内在的动能无关。由此引出了等效原理的内容：“惯性质量同引力质量相等，在引力场中一切物体都具有同一加速度。” 等效原理实际上意味着，爱因斯坦的最初方案——在狭义相对论框架中直接构造引力场论的尝试被否决，因为两者相互矛盾。上述等效原理的推论或另一个版本是：“在均匀、静止的引力场中，一切运动都像没有引力场时的一个匀加速坐标系所发生的一样”。用最简单又通俗的语言说，“加速度就相当于引力”。爱因斯坦和英菲尔德在名著《物理学的进化》中举例说，在升降机中突然加速相当于增加重量即“超重”，而突然减速则相当于减少重量即“失重”。当年笔者下矿井劳动，乘坐的升降机叫做“罐笼”，一开一停都会咣噹一下，它使人对“等效原理”深有感触。可惜，现在的电梯太高级、太平稳了，人们对加速度却找不到一点感觉了，“等效原理”也就显示不出来了。
爱因斯坦想到，如果要得到一种关于引力场的自然的理论，那么只要借“等效原理”之助，就可以把相对性原理推广到非惯性坐标系上去，这就可以得到新的“广义协变性原理”：引力场方程将在非线性坐标变换的情况下保持不变。其实，这正是“自然定律的内在不变性”理念在引力场论中的生动体现。必须指出，等效原理中的“引力与惯性力等效”以及“引力场同加速度等效”在实质上都是高度理想化的、有条件的，比如引力场必须加上局域性（甚至是无限小区域）、均匀、静止等等限制。
在从狭义相对论向广义相对论推广的过渡时期，爱因斯坦的认识不断有所发现，有所前进。1907年，爱因斯坦在《关于相对论原理和由此得出的结论》一文中，作出了关于引力对时钟的影响及引力红移的预言。他根据“引力场与惯性力场等效”的思想得出，一个处于引力场中的时钟，当所在点引力势为Ф时，它所指示的当地时间读数将是与它调准的不处在引力场中的同样读数的（1+Ф/c2）倍。同样的结论在1911年4月所发表的《引力对光传播的影响》一文中也给出了。在这篇论文中，爱因斯坦从等效原理出发，得出了光从无引力场的真空中的频率ν0到引力势为Φ中的频率ν的变化与引力势间的关系是ν=ν0(1+Φ/c2)，这与引力场中时钟读数的变化一致；同时结合波传播的惠更斯原理，甚至已经得出光在经过引力场时传播方向发生朝向天体偏折的结论。尽管这个结论在定性上是正确的，不过后来知道，在定量上却只是正确结果的一半。在这广义相对论的初创阶段，爱因斯坦可说是用试错法大胆地进行过各式各样的尝试，摸索着前进。直到1911年，爱因斯坦还没有放弃牛顿的引力论，只是在旧理论上点缀了“等效原理”。他在1912年2月和1912年3月接连准备好了两篇关于引力的文章，提出的都是考虑时间弯曲但空间仍然平直的模型；还提出了光速在引力场中不是常数，等效原理只对无限小的场成立，引力场能量密度带来的引力场的非线性等观点。
实际上，爱因斯坦真正需要的恰恰是与引力场空间的内在结构相匹配的卓有成效的数学方法，自从他找到格罗斯曼这个最理想的合作伙伴，整个研究就开始出现了转机。从1912年8月爱因斯坦回到苏黎士以后的一年多的时间里，他与老朋友格罗斯曼合作，先后发表了三篇文章，这些文章标志着广义相对论发展过程的重要阶段。其中第一篇论文《广义相对论纲要和引力论》发表于1913年。在这篇论文中，爱因斯坦为寻找与新的物理思想配套的数学方法作了第一次尝试，不过由于未能打破“线性变换下的协变性”的限制还是走了弯路。初次尝试中存在着两个缺点有待改进：第一个是论文中给出的场方程KΘμν=Γμν，其协变关系仅只在线性变换中才能成立。然而广义协变性原理却要求协变关系在非线性变换下仍然成立。第二个问题是后来发现的，由它给出的结果不能与“水星近日点进动”的观测值相符。根本原因在于，爱因斯坦试图借助于“线性坐标变换下的协变”（这样做在数学处理上当然简单些）来达到维护因果性的目的，为了坚持守恒定律而限制了坐标系的选择。他认为，如果把拉普拉斯算符作用到度规张量gμν上时，这个算符会退化，因此要求引力场方程只对一个确定的变换群协变。当时他还认为，对任意坐标系变换都保持协变的引力定律，将会与因果原理发生矛盾。
爱因斯坦的以上失误，使他又多花了近两年的艰苦努力。在这期间，亚伯拉罕、米、诺茨屈劳姆就引力问题曾与爱因斯坦展开了讨论，这对引力理论的发展起了重要的推动作用。诺茨屈劳姆的理论是一个标量理论，而且可以在闵可夫斯基空间中得到理解，被称为是“狭义相对论性引力理论”，其中空间是弯曲的，但具有平坦闵可夫斯基坐标“映象”这一人为限制。在这个理论中，引力质量正比于系统的总质量，等效原理是统计原理。不过这个理论不能预言光线在星体引力场附近的偏折。
1914年，爱因斯坦与洛伦兹的学生福寇一起发表了一篇严格遵守“广义协变性”要求的引力理论的简短论文，发现从绝对微分运算和广义协变性的要求出发，可以证明诺茨屈劳姆的理论只是爱因斯坦—格罗斯曼理论的一种特殊情况，其标志是光速不变这一附加条件；爱因斯坦—格罗斯曼理论包含着光线弯曲，而诺茨屈劳姆的理论却不包含光线弯曲。
在回到“广义协变原理”的正确思路之后，爱因斯坦在1915年10月与11月，集中精力探索新的引力场方程。先后于11月4日，11日，18日和25日，每周一次，一连四周向普鲁士科学院递交了四篇论文。在11月4日的论文中，他提出了废弃1913年提出的那个引力场方程的理由，即旧方程式受制于“线性变换下的协变”。在11月28日写给索末菲的信中，爱因斯坦则作出了更加明确的表白：
“（1）我证明了，在一个均匀转动的参照系中，引力场并不满足场方程。
（2）水星近日点进动每一百年不是18″而是45″。
（3）在我去年的论文中，协变的考察没有提供哈密顿函数H。如果把它加以适当推广，它就会允许任意的H，于是，要适应坐标系的协变，是徒劳无功的。……我清楚地看到，只有与普遍的协变理论，即黎曼协变理论联系起来，才能得到令人满意的解决。” [ 《爱因斯坦文集》（第一卷），许良英 李宝恒 赵中立 范岱年（编译），北京，商务印书馆，1976年1月第1版。 ] （[2]，第80页）
1915年爱因斯坦在广义相对论研究上取得了突破性进展，关键在于他摆脱了引力场方程只能“在线性变换下协变”的限制，并且对张量分析（即绝对微分演算）重要性有了全新的认识。在方法论上他仍遵循1913年所用的对应原理，它要求一个旧理论推广建立起一个更为全面的新理论后，新理论的极限情况应过渡到旧理论（它与玻尔在量子论中使所用的对应原理的思想不谋而合）。这里旧的引力理论仍具有相对的真理性，牛顿-泊松引力势公式仍是一个基本参照点。爱因斯坦保留了“对泊松方程推广”的原有形式。但现在他认为牛顿引力理论的泊松方程▽2φ=4πGρ/c中的ρ，应对应于引力源体系的质量、能量、动量以及所有的有关部分，能将这些量做统一描述的只有能量张量Tμν；而牛顿引力势φ则对应于时空度规张量gμν，再根据张量的对称性，协变散度为零以及缩并的规则，最后终于找到了满足广义协变性形式的引力场方程：
Rμν–gμνR/2=8πGTμν/c4
其中G为牛顿引力常量，Rμν为里奇曲率张量，R为其标量。引力场方程的左侧描述了引力场时空的弯曲性质，而右侧描述了作为引力源物质体系，它们在场方程中的结合，在爱因斯坦看来，恰恰反映了马赫原理的思想，也就是认为物质所受惯性力或引力，相当于宇宙中其它物质对它的总作用。德国数学家希尔伯特也于1915年11月20日，几乎同时得到了满足广义协变原理的引力场方程 [ 魏凤文、申先甲：《20世纪物理学史》，南昌，江西教育出版社，第52-55页。 ]。
除了“等效原理”、“广义协变性原理”之外，被爱因斯坦看作广义相对论的第三个基本原理的就是“马赫原理”：在引力场中，空间的性质是由宇宙物质的质量分布所决定的。正像力= 物体产生加速运动的原因（“力，形之所以奋也”），可以看作牛顿定律（F=ma）的定性表述；宇宙的质量分布=引力场的时空弯曲的原因（马赫原理），也许真的可以看作导致“引力场方程式”的某种启发式原理。话说回来，虽然马赫原理在广义相对论的实际起源中起了重要的启发作用，而且爱因斯坦本人愿意相信广义相对论实现了“马赫原理”所要求的“废除绝对空间”的哲学愿望。但是，马赫本人却按照自己的立场却拒绝承认相对论。从解释学观点看，这并没有什么可奇怪的。因为文本一经产生，就像波普尔的“世界3”那样而具有相对自主性和独立性，文本解读者完全可能从文本中开发出原作者本人未必意识到的深刻意义。应当说，严格的分析可以表明，广义相对论不见得能够准确符合马赫的本意，按照马赫本人意愿所考虑的“马赫原理”既不是广义相对论的逻辑前提，也不是它的推论。然而，这并不表明爱因斯坦的想法与马赫的思想毫无关联，而只是完全没有根据的异想天开。
马赫关于惯性的思想萌发于贝克莱的著作的启示，大体上可归结为：（1）空间本身并不是一件“东西”，它仅仅是从物质间距离关系的总体中得到的一种抽象。（2）一个质点所受惯性力是该质点与宇宙中所有其他物质相互作用的结果。（3）局部的无加速度判据决定于宇宙中全部运动的某种平均值。（4）力学的全部本质是所有物体的相对运动。
一个旋转着的弹性球在其赤道附近鼓起。这个球是怎样“知道”它在旋转而必须是鼓起的呢？对于这个问题，马赫可以这样回答：它“感觉”到围绕它旋转的宇宙物质的作用；这是一种由于转动造成的宇宙物质对球体的万有引力失去原来的平衡达到的剩余引力。但对牛顿来说，这是相对于绝对空间的转动形成的（惯性）离心力，和万有引力截然不同。
爱因斯坦将马赫的有关思想进行综合并且解读为“马赫原理”。当然，马赫的这些思想还不成熟，因为还根本没有一个“质量感应”效应的定量理论。在通向广义相对论的某个阶段，爱因斯坦曾经设想，牛顿的平方反比律与一个完善的引力理论的差别，就像仅仅以库仑定律为基础的简单电学理论与麦克斯韦最终理论的差别一样。1953年，夏马复活并发展了1872年蒂斯朗的麦克斯韦形式的引力理论，发现它在很大程度上包括马赫原理：惯性力对应于宇宙的引力“辐射场”，并与距离的一次方成反比。不幸的是，这个理论在其他方面和相对论相抵触。例如，在狭义相对论中质量随速度而变化，但在麦克斯韦理论中电荷应当是不变量。再者，由于质能关系式，物体的引力结合能具有负能量（负质量），因而系统总质量不等于部分质量之和。而在麦克斯韦理论中，作为线性理论的直接结果，电荷（类似于质量）是严格可加的。在引力理论的发展史上，类似麦克斯韦理论的引力磁场理论有不少，最后证明多半是广义相对论的弱场近似形式。
爱因斯坦对惯性问题的解决方法，即广义相对论，要比麦克斯韦理论复杂得多。在“一级近似”下，它简化为牛顿理论；在“二级近似”下，它实际上具有麦克斯韦理论的特征。至于在什么意义上，它是真正符合“马赫立场”的，还有争论。任何时候都应当注意：（1）马赫原理是扎根于经典运动学之中的；（2）它没有考虑可能作为空间内容的“场”。因此，它在近代物理学中完整的公式表述还是成问题的。爱因斯坦内心期望的广义相对论是符合等效原理的：“在一个贯彻一致的相对论中，不可能有相对于‘空间’的惯性，而只有物体相互的惯性。因此，如果我使一个物体距离宇宙中别的一切物体在空间上都足够远，那么它的惯性必定减到零。”[ 《爱因斯坦文集》（第二卷），范岱年 赵中立 许良英（编译），商务印书馆，1977年3月第1版，第354页。] 不过，场方程的很多解不符合这个要求。
爱因斯坦指出，依据“马赫原理”应该期望：（1）在物体附近有物质堆积时，它的惯性质量应增加；（2）邻近物体作加速运动时，此物体应受到一个与加速度同方向的加速力；（3）转动的中空物体，必在其内部产生径向离心力与科里奥利力。实验发现，广义相对论中的这些效应的确存在，但不象马赫原理期望的那么大。看来，广义相对论所给出的只是介乎牛顿立场与马赫立场之间的中间立场。也许比较彻底地贯彻了马赫原理的是Brans – Dicke理论，而不是广义相对论。
从狭义相对论发展到广义相对论，前后总共需要花费十年功夫，没人感到奇怪，因为难度确实太高了。然而，使许多人感到困惑不解的倒是，爱因斯坦早在1907年（12月4日）就已经提出了广义相对论的两个基本原理，然而直到1915年11月25日广义相对论才大功告成，为什么又需要花费八年时间呢？爱因斯坦本人在《自述》（1946）中有一个简要解答是：“其主要原因在于，要使人们才坐标必须具有直接的度规意义这一观念中解放出来，可不那么容易。”([2],30页) 陈省身先生也赞同这一个看法。这里所谓“度规”，就是指度量距离的规矩、法则。黎曼曾经指出过，有了一种度量距离的法则，也就决定了一种几何学。欧氏几何用的是“刚性度规”, 黎曼几何用的则是“柔性度规”。1933年爱因斯坦在格拉斯哥的报告《广义相对论的来源》中是这样说的：“接受了等效原理所要求的非线性变换，对于坐标的简单物理解释，无可避免地是致命的——那就是说，不能再要求：坐标差应当表示那些用理想标尺或理想时钟所测得的直接量度结果。”([2],321页)
每个人都免不了要受有关测量的老观念、老规矩的束缚，这些教条是：
（1）坐标必须具有直接的量度性质；（2）坐标差，包括空间或时间的坐标差，直接给出可量度的长度或时间（例如1厘米或者1秒）；（3）可直接量度的时空观，都默认了时空的“平直性质”，都默认了时间或空间都有不变的“刚性标尺”（换一个时空点仍然是1厘米或者1秒）。从与牛顿力学匹配的欧几里得几何，到与狭义相对论匹配的闵可夫斯基四维时空连续区，在这一点上都没有根本改变。
即使爱因斯坦，在相当长的时间内也没有摆脱这种传统测量观中的“刚性度规”、“刚性标尺”观念的束缚。在狭义相对论中，同一个惯性系内部有统一的时间、空间测量标准，各个时钟可以对准、同步，还有不变的刚性尺。与此相应，物理规律有效性仍然只是受制于“线性变换下的协变性”。然而，一般人都没有足够的思想准备的是，对于弯曲时空而言，在每一个时空点上，法线方向不断在变化，长度标尺与时间标尺也不断在变化。面对这种新情况，旧的测量观的教条会让人感到手足无措的。若要在不同时空点之间重新建立协变关系，“刚性度规”和“线性变换”统统不顶用了，必须改用“柔性度规”和“非线性变换”。为了满足物理上刻画引力场弯曲时空的需要，在不同时空点之间重新建立“可兑换”的关系，爱因斯坦甚至独立于数学家而率先发明了“联络”的新概念，微分几何学家马上表示举双手赞成。
爱因斯坦终于翻然醒悟，他认识到，闵可夫斯基四维时空还只是准欧几里得的、平直结构的，度规还是刚性的，对于恰当地刻画引力场来说，它仍然是不够用的。应当把准欧几里得的“刚性度规”推广到更普遍的“柔性度规”的情况中去，这将对应于非线性变换的形式，适应于非惯性系或引力场弯曲时空的场合。如果使用“四维度规张量”之后，那么也就有了“柔性度规”，虽然不同坐标点上的尺和钟的标准都不同，坐标差不再直接与可量度间隔相对应，然而在引力场的弯曲时空中，在每一个时空点上，长度、时间仍然是可测的，不同坐标点之间的尺和钟的标准是可以合理换算的。在格罗斯曼协助下，爱因斯坦很快掌握了黎曼几何和张量分析的新工具，迅速取得了决定性和突破性的进展，终于找到了广义相对论所需要的引力场方程式。
第二节 时空的相对性与绝对性、广义相对性与协变性
美国科学哲学家弗里德曼（Michael Friedman）指出，爱因斯坦在对相对论作哲学解释时，混同了运动相对化的两种策略：马赫的相对化纲领和自己的广义相对性纲领。马赫的相对化纲领要求用相对性术语定义所有绝对项（比如把惯性原理解释为相对运动变化带来的引力的变化效应）；广义相对性纲领只要求运动方程可以写成广义协变性的形式，并不要求象马赫的相对化纲领所主张的消去所有绝对项。从牛顿力学转向狭义和广义相对论时，广义相对论只部分地实现了马赫的纲领（加速和转动现象部分地由远处质量决定而不是完全由外部质量决定）。造成这种误解的原因是，在广义相对论以前的物理理论中，物理学定律对于惯性系的等价性和等效原理所决定的局部等价造成的惯性力场与引力场的不可分辨性，以及物理规律的数学协变性这三者是一致的。然而在广义相对论中，这三者却是不同的。例如，尽管牛顿力学主张惯性系与非惯性系可以分辨，然而只要增加与加速度有关的项，就能在平直时空中把牛顿力学表述成广义协变的方程；等效原理只能在局域地保证惯性力场与引力场不可分辨，而在整体上永久引力场不可能采用坐标协变的方式消去，如此等等。在爱因斯坦的《广义相对论的基础》这一经典文献中，他从讨论假想的思想实验（即空虚时空中的两个球在相互旋转时是否会出现一个球鼓起为椭球）中所包含的“马赫原理”开始，悄悄地转向将狭义相对性原理进行推广，使得惯性运动和非惯性运动（包括加速和转动）在物理规律上不可区分，然后把这种要寻求的在物理上的“广义相对性”等同于运动方程在数学上的“广义协变性”。也许，这条思路暗含着误导人的成分。运动方程在“数学形式的协变性”不足以保证惯性系和非惯性系的在“物理上的等价性”，也就是不足以表达爱因斯坦心目中要寻求的“广义相对性原理”。物理定律在数学形式上的同构和“协变性”的概念，只有在平直时空理论的文本中才可以对应于“物理等价性”的相对论概念，而在平直时空中存在着一组优先的惯性系。在广义相对论中，无引力场太空中静止或作匀速直线运动的参照系和引力场中无自转的自由下落的无穷小参照系都是严格的惯性系，称为局域惯性系；局域的绝对加速和绝对转动可以从局域的惯性运动中分离出来，和以前的物理理论一样，非惯性运动和惯性运动的运动定律不同：在非惯性运动中，具有用弯曲时空度规描述的惯性力和相对论修正项[ Michael Friedman , Foundation of space-time Theories, Princeton: Princeton University Press,1984,pp206~211.
] 。
以“哥德尔不完全性定理”而闻名的数理逻辑家哥德尔，对宇宙学及其时间、空间观念也都有非常独到的研究。实际上，很多学者相信，哥德尔所给出的广义相对论“旋转宇宙模型”表明时空的确具有某种绝对性，宇宙可以绕着自己的时空框架旋转不息，绝对空间和绝对时间的幽灵仍然萦绕于广义相对论的理论内核中。即使牛顿的全域静止的“绝对时空”不会在广义相对论中出现，然而相对于一组定域惯性系的绝对加速和绝对转动的确存在。哥德尔解需要“非零的宇宙常数”，具有空间均匀性而不具备各向同性，出现了封闭的类时线，物质在这些宇宙中相对于局部惯性框架旋转等特点。不少学者怀疑哥德尔解仅有抽象的数学意义而未必具有物理上的真实性。爱因斯坦在怀疑的同时指出，哥德尔解具有重视对时间概念的深入分析的特点，并且注意到在哥德尔的新解中，对于按宇宙论意义隔得很远的世界点而言，早迟之分（过去，现在和未来的差别）被抛弃了。
曹天予在《20世纪量子场论的概念发展》（1997）一书提出了广义相对论中的时空哲学问题。认为按照爱因斯坦的观点，不论出现什么样的运动，时空几何特别是坐标系可以人为地选择，因此时空必定是相对的，而不是绝对的。但是，曹天予认为绝对运动是存在的，只要任何一种物质运动相对于内在的时空惯性结构具有加速或旋转运动，这种运动就具有绝对性。在物体加速或转动时，时空惯性结构出现速度或角速度的依赖性，惯性结构本身只能相对地确定。采用这种观点理解爱因斯坦提到的“虚空中互相旋转的两个球的问题”，我们认为球的转动具有绝对性，因为旋转球的各位置之间相对于时空惯性结构而言，具有不可消除的速度差，而没有转动的球是在时空惯性结构中保持各位置等速度的[ CAO, Tianyu, Conceptual developments of 20th century field theories,Cambridge University Press 1997,p90~92.] 。
有关广义相对性原理在广义相对论中是否必要的问题是有争论的。苏俄物理学家B.A.福克在《时间、空间和引力理论》一书中，就对广义相对性原理提出过异议。他认为，自然规律未必需要采取微分方程的形式，而协变性正是对着这种形式而言的。另外，除了方程以外，还必须加上初始条件、边界条件等其它条件。然而由于初始条件和边界条件不是协变的，因此同样的公式在不同的参照系中对应着不同的物理内容。这说明在两个参照系中，实现两种具有同一形式的补充条件的过程，一般是不可能实现的，因此“广义相对性原理”是不现实的、无法成立的。由此福克进一步认为：对表达爱因斯坦引力理论，广义相对性原理也是没有必要的。实际上，只是从这个原理的全部逻辑结论中，应用了场的微分方程的协变性。福克和弗里德曼（M.Friedman）一样，把广义协变性视为纯粹是数学或逻辑的要求，而且认为不应把“广义协变性”等同于物理上的“广义相对性”，因为后者只是爱因斯坦所设想的其实并非为相对论真正必需的。然而我国物理学家周培源却认为，物理学规律满足协变性的要求，不仅是逻辑和数学的要求，更是因为物理规律本身具有客观性和普遍有效性，本来就可以在各参照系之间通用的和可以进行变换的，因此不应当把数学上的“广义协变性”和物理上的“广义相对性”这两个方面机械地对立起来；批评福克等人把相对性仅仅理解为“物理过程的相似性”，而把相对性的物理内容与其在数学上的表现（即在坐标变换下的协变性）割裂开来，这就引伸出了错误的哲学理解。
我们认为，物理内容与数学形式是相互关联、密不可分的。凡物理内容都必须通过一定的数学形式表现出来，而数学形式总是反映一定的物理内容。“广义协变性”是一种数学形式，它表征着物理规律的“广义相对性”，它要求物理规律在四维黎曼时空保持协变性。四维黎曼时空虽然不像欧几里德空间或闵可夫斯基时空那样成为牛顿力学或狭义相对论的先验几何，其中运动学是独立于动力学的；但是，四维黎曼时空却对引力场的几何化提供了定性的约束，黎曼时空中的质点运动学是与引力场的动力学紧密相关的。四维黎曼时空的引入，并不是任意的约定，而是因为非惯性运动引起的相对论效应必然导致欧氏几何和闵氏几何失效，时空出现弯曲；根据等效原理，引力场局域地等效于惯性力场，由此就可以证明相对论的引力场需要引入弯曲时空。早在建立广义相对论的初期，爱因斯坦就考虑过一个转动的刚性圆盘的理想实验并受到重要启示，加深了引力理论对非欧几何的依赖性的认识。他发现，当刚性圆盘转动时，在不同的半径处，由于旋转的线速度不同，引起的洛仑兹收缩也不同，圆周与其半径之比不再是2π，从而使欧几里得定理在匀速转动参照系中，极有可能不再成立。然而旋转圆盘的惯性力与引力等效，由此，爱因斯坦认识到，在引力场中，欧几里得几何学不再严格成立。爱因斯坦的广义相对论本质上就是将引力场与弯曲时空的度规联系起来的产物，广义协变性是通过引入黎曼时空的“柔性度规”自然出现的，“等效原理”保证了引力场的黎曼几何化处理具有物理意义。
当然，我们并不主张广义协变性与广义相对性可以简单地混同起来。因为我们发现，尽管广义相对论宣称惯性系与非惯性系在广义协变的数学描述上等价，但是在物理意义上惯性系具有与某些物理过程紧密相连的优先地位，可以被识别出来。我们必须注意其中的细微而微妙的差别。首先，只有在惯性系中，牛顿万有引力定律作为广义相对论的弱场近似形式成立，这种类型的惯性系就是符合伽利略变换的经典惯性系；也只有在惯性系中，麦克斯韦方程才能成立，这种惯性系就是符合洛伦兹变换的狭义相对论惯性系，它与经典惯性系并不完全一致。这两类惯性系的交集是一类静止参照系，其中洛伦兹理论在其中成立，这个静止系通过伽利略变换称为经典惯性系，通过洛伦兹变换称为狭义相对论惯性系。也就是说，只有在惯性系中，无穷远处的引力场强度才保持有限并趋向于零，能量和动量守恒定律在大范围内成立。局域的惯性系是通过消除引力场与惯性力来定义的，整体的惯性系求助于初始边界条件的特点来识别——无限远处的时空度规是否趋向于零。如果我们考虑引力场中的热辐射，就会发现闵可夫斯基时空中安鲁效应的温度为零；所以引力场中的热辐射也可以成为惯性系的判据。当然确定惯性系的方式在大时空范围仍然具有依赖速度或加速度的相对性，但这种相对性并没有消除惯性结构的优越性。因此，尽管在爱因斯坦建立广义相对论的过程中曾经证明建立“狭义相对论的引力论”是不可能的，但是这只是因为当时的物理学家在科学探险中缺少更加大胆的想象力，没有在建立“平直时空的引力理论”的方向上作足够的尝试，也没有确立平直时空引力论的启发性原理。然而在广义相对论建立后，人们开始回过头来探索在惯性系或平直时空中建立新的引力场论的可能性。很多模仿电磁场论建立的引力磁场理论，在弱场近似下与广义相对论等价，在强引力场条件下有一些已被证伪，另一些则缺少足够有力的判据性实验区分这些理论的真伪和可靠程度。在科学思想史上，许多相互竞争的纲领或理论往往要进行多次反复的较量，一度被抛弃的研究纲领或理论在新的历史条件下随时都有可能重新复活。看来，“平直时空引力论”也仍然是一个非常有韧性和启发力的研究纲领。正像牛顿质点力学没有决定性地取消“以太”学说一样，弯曲时空的广义相对论也没有决定性地取消“平直时空的引力场论”。
通过爱因斯坦的学生N. 罗森等人的努力，弯曲时空规范的广义相对论也建立起了“平直时空”的新形式，它们之间可以通过数学变换形式相互转换。弯曲时空规范以三组已经建立的数学化定律为基础：爱因斯坦方程，它描述物质如何产生时空曲率；告诉我们理想尺钟测量爱因斯坦弯曲时空的长度和时间的定律；告诉我们物质和场如何在弯曲时空中运动。平直时空规范也以三组定律为基础：描述平直时空中的物质如何产生引力场的定律；描述场如何决定理想尺寸的收缩和理想的时钟流如何膨胀的定律；描述引力场如何决定粒子和场在平直时空中运动的定律。在弯曲时空里，爱因斯坦场方程在口头上可以说“质量产生时空曲率”。用平直时空规范的语言，场方程被说成“质量产生决定尺度收缩和时钟膨胀的引力场”。虽然爱因斯坦场方程的这两种说法在数学上是等价的，可以相互推导出来[ [美] 基普·S·索恩：《黑洞与时间弯曲》，李泳 译，湖南科学技术出版社，2000年4月第1版,pp370~374.
] ，但在语言表述上却大不相同。平直时空规范与弯曲时空规范的关系非常类似于彭加勒—洛伦兹理论与爱因斯坦狭义相对论的关系。如果在能量动量张量中考虑引力场本身的能量贡献，新的平直时空引力论就与广义相对论不完全等价了，这就是所谓的“平直时空引力理论”（FSG）或“狭义相对论时空理论”（SR时空理论）；它目前没有被证伪，但在强调引力场的物质性，消除能量动量张量的二阶张量与引力场曲率张量的四阶张量的不对称性，保证引力场和物质场总能量—动量守恒等方面比广义相对论要满意。
以爱因斯坦为代表的建构新的相对论的整个科学革命史，生动地体现了为了解决经典物理学中出现的重大反常与疑难（包括经验问题和概念问题），利用假说演绎法和图像推理法，试探性地改进旧理论，提出革命性的科学新思想，最后形成新的自然秩序理想的过程。自然图景的简单性、统一性、深刻性、严密性和预见性在科学的革命性演变中不断进步，旧的假说和研究纲领的合理成分在科学发展的辩证否定中得到扬弃。
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